同次連立一次方程式の非自明解を特異値分解から解く
行列でランクである行列 と,次元のベクトル について,以下の等式が成立するとき,の非自明解を特異値分解から求める.
まず,は大きさが不定なので,条件として以下を加える.
ところで,このは以下の解と言いかえることができる.
また,の特異値分解の結果を以下で表す.
図で書くとこう.
はユニタリ行列であり,ユニタリ行列による変換は等長変換であることに注意して,は以下のように変形できる.
ただし,
としている.ここで,がユニタリ行列であることによる等長変換から,以下が成立.以上から,
ここで,の特異値をとし,とおくと,
となる.これを最小化する (ただし)の各成分は
となる.ここで,の各列をベクトルと表すと,がユニタリ行列であるから
参考:
https://www2.cs.duke.edu/courses/fall15/compsci527/notes/linear-systems.pdf
http://daily-tech.hatenablog.com/entry/2018/03/18/180439